行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{bmatrix}$ の階数を求めよ。ただし、$x$ は実数とする。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{bmatrix}$ の階数を求めよ。ただし、$x$ は実数とする。

2. 解き方の手順

行列の階数は、線形独立な行（または列）の最大数である。行列式を計算し、それが0でない場合に階数は3となる。行列式が0の場合、階数は3より小さくなる。行基本変形を使って階段行列に変形して解くこともできる。ここでは行列式を計算する。

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - x^2) - x(x - x^2) + x(x^2 - x) = 1 - x^2 - x^2 + x^3 + x^3 - x^2 = 1 - 3x^2 + 2x^3 = (1 - x)^2 (1 + 2x)$

$|A| = 0$ のとき、$(1 - x)^2 (1 + 2x) = 0$ より、$x = 1$ または $x = -\frac{1}{2}$ である。

(i) $x \neq 1$ かつ $x \neq -\frac{1}{2}$ のとき、 $|A| \neq 0$ なので、階数は 3 である。

(ii) $x = 1$ のとき、$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ となり、全ての行が同じなので、階数は 1 である。

(iii) $x = -\frac{1}{2}$ のとき、$A = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$ となる。

このとき、$A = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{3}{4} & -\frac{3}{4} \\ 0 & -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ と行基本変形できるので、階数は 2 である。

3. 最終的な答え

$x \neq 1$ かつ $x \neq -\frac{1}{2}$ のとき、階数は 3

$x = 1$ のとき、階数は 1

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、階数は 2