円Oの周上に4点A, B, C, Dがある。ACは直径で、$\angle ACB = 30^\circ$, $\angle DAC = 40^\circ$である。このとき、AB:BC:CD:DAを最も簡単な整数の比で表す。

## 問題13-6

1. 問題の内容

円Oの周上に4点A, B, C, Dがある。ACは直径で、$\angle ACB = 30^\circ$, $\angle DAC = 40^\circ$である。このとき、AB:BC:CD:DAを最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

* **ステップ1：角度を求める**

* ACが直径なので、$\angle ABC = 90^\circ$ （直径に対する円周角）

* $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

* $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$

* $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$（円に内接する四角形の対角の和は180度）

* $\angle ACD = 90^\circ - \angle DAC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$

* $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$

* **ステップ2：弧の長さを求める**

* 円周角の定理より、弧の長さは円周角に比例する。

* $AB$に対する円周角は$\angle ACB = 30^\circ$

* $BC$に対する円周角は$\angle BAC = 60^\circ$

* $CD$に対する円周角は$\angle CAD = 40^\circ$

* $DA$に対する円周角は$\angle DCA = 50^\circ$

* **ステップ3：比を計算する**

* 弧の長さを円周角で表すと、AB:BC:CD:DA = 30:60:40:50

* これを最も簡単な整数の比にすると、3:6:4:5

3. 最終的な答え

AB:BC:CD:DA = 3:6:4:5