与えられた情報に基づいて、以下の問題を解きます。 (1) 限界便益を$x$の関数として表し、価格が与えられたときの消費量を計算します。 (2) 限界便益関数が与えられたとき、需要関数と供給関数を求めます。 (3) 限界便益関数が与えられたとき、供給曲線を描き、価格が与えられたときの消費量と総便益を計算します。 (4) 便益関数が与えられたとき、価格が与えられたときの消費量、消費者余剰、および純便益を最大にする消費量を求め、それらが一致することを確認します。

1. 問題の内容

与えられた情報に基づいて、以下の問題を解きます。

(1) 限界便益を$x$の関数として表し、価格が与えられたときの消費量を計算します。

(2) 限界便益関数が与えられたとき、需要関数と供給関数を求めます。

(3) 限界便益関数が与えられたとき、供給曲線を描き、価格が与えられたときの消費量と総便益を計算します。

(4) 便益関数が与えられたとき、価格が与えられたときの消費量、消費者余剰、および純便益を最大にする消費量を求め、それらが一致することを確認します。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $x=0$のとき$MB=2000$であり、$x$が1増加するごとに$MB$が100ずつ低下するので、限界便益$MB(x)$は次の線形関数で表されます。

$MB(x) = 2000 - 100x$

(ii) $p=300$のとき、限界便益と価格が等しくなる点で消費量が決まります。

$300 = 2000 - 100x$

$100x = 1700$

$x = 17$

(2)

(i) $MB(x) = 3000 - 10x$

個別需要関数は、$MB(x) = p$となる$x$を$p$の関数として表したものです。

$p = 3000 - 10x$

$10x = 3000 - p$

$x = 300 - \frac{1}{10}p$

(ii) 個別供給曲線は、生産者の供給量を価格の関数として表したものです。限界便益が与えられている場合は、限界費用を考える必要がありますが、この問題では供給に関する情報がないため、供給曲線は描けません。通常は、企業の費用関数が与えられて、そこから限界費用を求め、限界費用と価格が等しくなる点で供給量が決まります。

(3)

(i) $MB(x) = 30 - 2x$

個別供給曲線を描くには、限界費用に関する情報が必要です。この問題では与えられていないため、供給曲線は描けません。

(ii) 価格が$p=10$のとき、$MB(x) = p$となる$x$を求めます。

$10 = 30 - 2x$

$2x = 20$

$x = 10$

(iii) 総便益は、$MB(x)$を0から$x$まで積分したものです。

$B(x) = \int_0^{10} (30 - 2x) dx = [30x - x^2]_0^{10} = (300 - 100) - (0) = 200$

(4)

(i) $B(x) = 100x - x^2$, $p=20$

$MB(x) = \frac{dB(x)}{dx} = 100 - 2x$

$MB(x) = p$となる$x$を求めます。

$20 = 100 - 2x$

$2x = 80$

$x = 40$

(ii) 消費者余剰は、総便益から支出を引いたものです。

$B(40) = 100(40) - (40)^2 = 4000 - 1600 = 2400$

支出$= p \times x = 20 \times 40 = 800$

消費者余剰$= 2400 - 800 = 1600$

(iii) 純便益$NB(x) = B(x) - px = 100x - x^2 - 20x = 80x - x^2$

$NB(x)$を最大にする$x$を求めます。

$\frac{dNB(x)}{dx} = 80 - 2x = 0$

$2x = 80$

$x = 40$

$x$の値は、(i)で求めた消費量と一致します。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $MB(x) = 2000 - 100x$

(ii) $x=17$

(2)

(i) $x = 300 - \frac{1}{10}p$

(ii) 情報不足のため供給曲線は描けません。

(3)

(i) 情報不足のため供給曲線は描けません。

(ii) $x=10$

(iii) $B(x) = 200$

(4)

(i) $x=40$

(ii) 消費者余剰$= 1600$

(iii) $x=40$、(i)と一致します。