中性子の半減期が10分（600秒）であるとき、1秒あたりの崩壊確率を求めよ。ただし、$\ln 2 = 0.7$ とする。答えは既約分数 $\frac{n}{m}$ で表す。

1. 問題の内容

中性子の半減期が10分（600秒）であるとき、1秒あたりの崩壊確率を求めよ。ただし、$\ln 2 = 0.7$ とする。答えは既約分数 $\frac{n}{m}$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、放射性崩壊の式を考える。中性子の数を$N(t)$、初期の中性子の数を$N_0$とすると、

$N(t) = N_0 e^{-kt}$

ここで、$k$は崩壊定数である。

半減期の定義から、$t = 600$秒のとき、$N(t) = \frac{1}{2}N_0$となる。したがって、

$\frac{1}{2} N_0 = N_0 e^{-600k}$

$\frac{1}{2} = e^{-600k}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln \frac{1}{2} = -600k$

$-\ln 2 = -600k$

$\ln 2 = 600k$

$k = \frac{\ln 2}{600}$

問題文より$\ln 2 = 0.7$なので、

$k = \frac{0.7}{600} = \frac{7}{6000}$

1秒あたりの崩壊確率は、$1 - e^{-k}$ で近似できる(ただし、$k$が小さい場合)。

$1 - e^{-k} \approx k$

したがって、1秒あたりの崩壊確率は、$k$とほぼ等しい。

よって、崩壊確率は$\frac{7}{6000}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{6000}$