定積分 $\int_{0}^{2} \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を簡単にするために、変数変換 $x = \sinh(u)$ を行います。このとき、$dx = \cosh(u) du$ となります。積分範囲も変わります。

$x=0$ のとき、$\sinh(u)=0$ より $u=0$ です。

$x=2$ のとき、$\sinh(u)=2$ より $u = \sinh^{-1}(2)$ です。

したがって、積分は

$$\int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \frac{\sinh^2(u)}{\sqrt{1+\sinh^2(u)}} \cosh(u) du$$

となります。

ここで、$1+\sinh^2(u) = \cosh^2(u)$ であるから、$\sqrt{1+\sinh^2(u)} = \cosh(u)$ です。よって、

$$\int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \frac{\sinh^2(u)}{\cosh(u)} \cosh(u) du = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \sinh^2(u) du$$

となります。$\sinh^2(u) = \frac{\cosh(2u)-1}{2}$ を用いると、

$$\int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \frac{\cosh(2u)-1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \cosh(2u)-1 du$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sinh(2u)}{2} - u \right]_{0}^{\sinh^{-1}(2)} = \frac{1}{4} \sinh(2u) - \frac{1}{2}u \Big|_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$$

$\sinh(2u) = 2\sinh(u)\cosh(u)$ より、

$$\frac{1}{2} \sinh(u)\cosh(u) - \frac{1}{2}u \Big|_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$$

$u=\sinh^{-1}(2)$ のとき、$\sinh(u) = 2$ であり、$\cosh(u) = \sqrt{1+\sinh^2(u)} = \sqrt{1+2^2} = \sqrt{5}$ です。

したがって、

$$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(2) = \sqrt{5} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(2)$$

ここで、$\sinh^{-1}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ であるから、$\sinh^{-1}(2) = \ln(2+\sqrt{5})$ です。

よって、

$$\sqrt{5} - \frac{1}{2} \ln(2+\sqrt{5})$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} - \frac{1}{2} \ln(2+\sqrt{5})$