あるジムの広告では効果を実感できた人が90%に達すると宣伝している。実際に100人に対して調査したところ80人が効果を実感できたと回答した。この広告が正しいかどうかを有意水準5%で左片側検定を行う。 (1) 標本比率を求める。 (2) 検定統計量を求める。 (3) 有意水準5%で検定を行い、帰無仮説が棄却されるか採択されるかを判断する。

## ジムの広告の検定

1. 問題の内容

あるジムの広告では効果を実感できた人が90%に達すると宣伝している。実際に100人に対して調査したところ80人が効果を実感できたと回答した。この広告が正しいかどうかを有意水準5%で左片側検定を行う。

(1) 標本比率を求める。

(2) 検定統計量を求める。

(3) 有意水準5%で検定を行い、帰無仮説が棄却されるか採択されるかを判断する。

2. 解き方の手順

(1) 標本比率の計算

標本比率 $\hat{p}$ は、効果を実感できたと回答した人数を調査対象人数で割ることで求められる。

$\hat{p} = \frac{80}{100} = 0.8$

(2) 検定統計量の計算

帰無仮説は $p = 0.9$ (広告の主張が正しい)、対立仮説は $p < 0.9$ (広告の主張は正しくない)となる。

検定統計量 $z$ は、以下の式で計算される。

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

ここで、

$\hat{p} = 0.8$ (標本比率)

$p_0 = 0.9$ (帰無仮説における母比率)

$n = 100$ (サンプルサイズ)

これらの値を代入すると、

$z = \frac{0.8 - 0.9}{\sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{100}}} = \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{0.09}{100}}} = \frac{-0.1}{0.03} = -3.333$

(3) 有意水準5%での検定

有意水準5%の左片側検定における臨界値 $z_{\alpha}$ は、標準正規分布表から $z_{0.05} = -1.645$ である。

計算された検定統計量 $z = -3.333$ は、臨界値 $-1.645$ よりも小さいので、帰無仮説は棄却される。

3. 最終的な答え

(1) 標本比率: 0.8

(2) 検定統計量: -3.333

(3) 有意水準5%で検定 (左片側検定)の結果: 帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択される。