初項が10、公差が-3の等差数列$\{a_n\}$について、以下の2つの問いに答える。 (1) -53は第何項か。 (2) 初めて-100より小さくなるのは第何項か。

1. 問題の内容

初項が10、公差が-3の等差数列$\{a_n\}$について、以下の2つの問いに答える。

(1) -53は第何項か。

(2) 初めて-100より小さくなるのは第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ である。ここで、$a_1$は初項、$d$は公差、$n$は項数である。この問題では、$a_1 = 10$、$d = -3$なので、$a_n = 10 + (n-1)(-3) = 10 - 3n + 3 = -3n + 13$ となる。

$a_n = -53$ となる $n$ を求める。

$-53 = -3n + 13$

$3n = 13 + 53$

$3n = 66$

$n = 22$

(2) $a_n < -100$ となる $n$ を求める。

$-3n + 13 < -100$

$-3n < -113$

$3n > 113$

$n > \frac{113}{3} = 37.666...$

$n$ は整数なので、$n = 38$ が初めて-100より小さくなる項である。

3. 最終的な答え

(1) 第22項

(2) 第38項