与えられた数学の問題は以下の通りです。 (3) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$ (4) $\frac{3}{x+1} + \frac{6}{x-2}$ (5) $\frac{x-5}{x+4} - \frac{x+4}{x-5}$ (6) $\frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-3}$

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の通りです。

(3) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$

(4) $\frac{3}{x+1} + \frac{6}{x-2}$

(5) $\frac{x-5}{x+4} - \frac{x+4}{x-5}$

(6) $\frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-3}$

2. 解き方の手順

(3) 分母が共通なので、分子を計算します。

$\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x-2}$

分子を因数分解します。

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

したがって、

$\frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2$

(4) 分母を払って計算します。

$\frac{3}{x+1} + \frac{6}{x-2} = \frac{3(x-2) + 6(x+1)}{(x+1)(x-2)}$

分子を計算します。

$3(x-2) + 6(x+1) = 3x - 6 + 6x + 6 = 9x$

したがって、

$\frac{9x}{(x+1)(x-2)} = \frac{9x}{x^2 - 2x + x - 2} = \frac{9x}{x^2 - x - 2}$

(5) 分母を払って計算します。

$\frac{x-5}{x+4} - \frac{x+4}{x-5} = \frac{(x-5)^2 - (x+4)^2}{(x+4)(x-5)}$

分子を計算します。

$(x-5)^2 - (x+4)^2 = (x^2 - 10x + 25) - (x^2 + 8x + 16) = x^2 - 10x + 25 - x^2 - 8x - 16 = -18x + 9$

したがって、

$\frac{-18x + 9}{(x+4)(x-5)} = \frac{-18x + 9}{x^2 - 5x + 4x - 20} = \frac{-18x + 9}{x^2 - x - 20}$

(6) 分母を払って計算します。

$\frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-1)(x-3) + (x+1)(x+2)}{(x+2)(x-3)}$

分子を計算します。

$(x-1)(x-3) + (x+1)(x+2) = (x^2 - 3x - x + 3) + (x^2 + 2x + x + 2) = x^2 - 4x + 3 + x^2 + 3x + 2 = 2x^2 - x + 5$

したがって、

$\frac{2x^2 - x + 5}{(x+2)(x-3)} = \frac{2x^2 - x + 5}{x^2 - 3x + 2x - 6} = \frac{2x^2 - x + 5}{x^2 - x - 6}$

3. 最終的な答え

(3) $x-2$

(4) $\frac{9x}{x^2 - x - 2}$

(5) $\frac{-18x + 9}{x^2 - x - 20}$

(6) $\frac{2x^2 - x + 5}{x^2 - x - 6}$