不等式 $\sqrt{x+1} < -x+5$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} < -x+5$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上になる必要があるため、$x+1 \ge 0$ より $x \ge -1$ である。

次に、$\sqrt{x+1}$ は常に0以上であるから、$-x+5$ が負の数の場合は不等式は成立しない。したがって、$-x+5>0$ 、つまり$x < 5$ が必要となる。

よって、まず$-1 \le x < 5$ という条件が必要である。

この条件のもとで、不等式の両辺を2乗する。

$(\sqrt{x+1})^2 < (-x+5)^2$

$x+1 < x^2 -10x + 25$

$0 < x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 > 0$

$(x-3)(x-8) > 0$

よって、$x < 3$ または $x > 8$ となる。

しかし、$x < 5$ という条件があるので、$x > 8$ は不適である。

したがって、$x < 3$ と $-1 \le x < 5$ より、 $-1 \le x < 3$ となる。

3. 最終的な答え

$-1 \le x < 3$