不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中が0以上になる条件から、$2x+1 \ge 0$ より $x \ge -\frac{1}{2}$ が必要です。

次に、不等式の両辺を2乗します。

$(\sqrt{2x+1})^2 \le (\frac{1}{2}x + 1)^2$

$2x+1 \le \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

両辺に4を掛けて整理します。

$8x+4 \le x^2 + 4x + 4$

$0 \le x^2 - 4x$

$x^2 - 4x \ge 0$

$x(x-4) \ge 0$

この不等式を解くと、$x \le 0$ または $x \ge 4$ となります。

ただし、$x \ge -\frac{1}{2}$ という条件があるので、$x \le 0$ の部分は $-\frac{1}{2} \le x \le 0$ となります。

したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$ が得られます。

最後に、$\frac{1}{2}x+1 \ge 0$ の条件も確認します。これは不等式の左辺が正である必要があるからです。

$\frac{1}{2}x+1 \ge 0$

$\frac{1}{2}x \ge -1$

$x \ge -2$

これはすでに $x \ge -1/2$ で満たされています。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$