関数 $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ の逆関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ の逆関数を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ とする。

逆関数を求めるには、$x$ と $y$ を入れ替えて、$y$ について解く。

$x = \frac{2y + 1}{y + 1}$

両辺に $y + 1$ をかける。

$x(y + 1) = 2y + 1$

$xy + x = 2y + 1$

$y$ を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項する。

$xy - 2y = 1 - x$

左辺を $y$ でくくる。

$y(x - 2) = 1 - x$

両辺を $x - 2$ で割る。

$y = \frac{1 - x}{x - 2}$

これは $y = \frac{-(x - 1)}{x - 2}$ とも書ける。

符号を反転させると、 $y = \frac{x - 1}{2 - x}$ とも書ける。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1 - x}{x - 2}$ または $y = \frac{x-1}{2-x}$