確率変数 $X$ の値の範囲が $0 \leq x \leq 3$ であり、その確率密度関数が $f(x) = ax$ であるとき、$a$ の値と $P(1 \leq X \leq 2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の値の範囲が $0 \leq x \leq 3$ であり、その確率密度関数が $f(x) = ax$ であるとき、$a$ の値と $P(1 \leq X \leq 2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: $a$ の値を求める**

確率密度関数の性質として、全区間における積分が1になるというものがあります。つまり、

$\int_{0}^{3} f(x) dx = 1$

が成り立ちます。この式に $f(x) = ax$ を代入して積分すると、

$\int_{0}^{3} ax dx = 1$

$a \int_{0}^{3} x dx = 1$

$a \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = 1$

$a \left( \frac{9}{2} - 0 \right) = 1$

$\frac{9}{2} a = 1$

$a = \frac{2}{9}$

* **ステップ2: $P(1 \leq X \leq 2)$ を求める**

$P(1 \leq X \leq 2)$ は、$f(x)$ を区間 $[1, 2]$ で積分することで求められます。

求めた $a = \frac{2}{9}$ を用いて、$f(x) = \frac{2}{9}x$ となります。

$P(1 \leq X \leq 2) = \int_{1}^{2} f(x) dx = \int_{1}^{2} \frac{2}{9}x dx$

$P(1 \leq X \leq 2) = \frac{2}{9} \int_{1}^{2} x dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{2}$

$P(1 \leq X \leq 2) = \frac{2}{9} \left( \frac{1}{2}(2^2) - \frac{1}{2}(1^2) \right) = \frac{2}{9} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right)$

$P(1 \leq X \leq 2) = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{9}$

$P(1 \leq X \leq 2) = \frac{1}{3}$