1つのサイコロを5回投げるとき、3の倍数（3または6）の目が出る回数を確率変数 $X$ とします。 (1) $X = r$ となる確率 $P(X = r)$ を求めなさい。 (2) この確率変数 $X$ はどのような二項分布に従うか答えなさい。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げるとき、3の倍数（3または6）の目が出る回数を確率変数 $X$ とします。

(1) $X = r$ となる確率 $P(X = r)$ を求めなさい。

(2) この確率変数 $X$ はどのような二項分布に従うか答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数の目が出る確率を求めます。

サイコロの目は1から6まであり、そのうち3の倍数は3と6の2つなので、3の倍数の目が出る確率は $1/3$ です。

3の倍数の目が出ない確率は $1 - 1/3 = 2/3$ です。

5回の試行で $r$ 回3の倍数が出る確率は、二項分布の確率公式を用いて、次のように表されます。

$P(X = r) = {}_5 C_r \left(\frac{1}{3}\right)^r \left(\frac{2}{3}\right)^{5-r}$

ここで、${}_5 C_r$ は二項係数であり、${}_5 C_r = \frac{5!}{r!(5-r)!}$ で計算されます。

(2) 確率変数 $X$ は、試行回数 $n = 5$ 、成功確率 $p = 1/3$ の二項分布に従います。

したがって、$X$ は二項分布 $B(5, 1/3)$ に従います。

3. 最終的な答え

(1) $P(X = r) = {}_5 C_r \left(\frac{1}{3}\right)^r \left(\frac{2}{3}\right)^{5-r}$

(2) $X$ は二項分布 $B(5, 1/3)$ に従う。