与えられた画像には、以下の3つの極限を求める問題が含まれています。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{x^3} = \frac{1}{3}$ (4) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3}$

1. 問題の内容

与えられた画像には、以下の3つの極限を求める問題が含まれています。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{x^3} = \frac{1}{3}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ の計算

この極限は、ロピタルの定理を繰り返し適用することで計算できます。

ステップ1: $x = 0$を代入すると、不定形$\frac{0}{0}$となるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$

ステップ2: 再び$x = 0$を代入すると、不定形$\frac{0}{0}$となるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{6x}$

ステップ3: 再び$x = 0$を代入すると、不定形$\frac{0}{0}$となるので、ロピタルの定理を適用します。または、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{x^3} = \frac{1}{3}$ の計算

この極限も、ロピタルの定理を繰り返し適用することで計算できます。

ステップ1: $x = 0$を代入すると、不定形$\frac{0}{0}$となるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \sec^2 x}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1 - (1 + \tan^2 x)}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\tan^2 x}{3x^2} = -\frac{1}{3} \lim_{x\to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ であるから、

$-\frac{1}{3} \lim_{x\to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2 = -\frac{1}{3}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3}$ の計算

この極限も、ロピタルの定理を繰り返し適用することで計算できます。

ステップ1: $x = 0$を代入すると、不定形$\frac{0}{0}$となるので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1+x^2 - 1}{1+x^2}}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{3(1+x^2)}$

ステップ2: $x = 0$を代入します。

$\frac{1}{3(1+0^2)} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{x^3} = -\frac{1}{3}$ （画像では1/3と書いてありますが、正しくは -1/3 です。）

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3} = \frac{1}{3}$