与えられた４つのベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix}$ が生成する部分空間の次元が２となるような $c$ の値を求める。

## 問題１

1. 問題の内容

与えられた４つのベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ c \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2c \\ -5 \end{pmatrix}$, $a_4 = \begin{pmatrix} -c \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix}$ が生成する部分空間の次元が２となるような $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$ と $a_2$ が線形独立であることに注目する。$a_3$ と $a_4$ は、$a_1$ と $a_2$ の線形結合で表される必要がある。つまり、$a_3 = k_1 a_1 + k_2 a_2$ および $a_4 = l_1 a_1 + l_2 a_2$ となる $k_1, k_2, l_1, l_2$ が存在しなければならない。

$a_3 = k_1 a_1 + k_2 a_2$ を成分ごとに書くと、

$1 = k_1 + 2k_2$

$2c = 2k_1 + 5k_2$

$-5 = 3k_1 + ck_2$

一つ目の式から、$k_1 = 1 - 2k_2$。これを二つ目の式に代入すると、

$2c = 2(1 - 2k_2) + 5k_2 = 2 + k_2$ より $k_2 = 2c - 2$。

よって、$k_1 = 1 - 2(2c - 2) = 5 - 4c$。

これを三つ目の式に代入すると、

$-5 = 3(5 - 4c) + c(2c - 2) = 15 - 12c + 2c^2 - 2c$

$2c^2 - 14c + 20 = 0$

$c^2 - 7c + 10 = 0$

$(c - 2)(c - 5) = 0$

したがって、$c = 2$ または $c = 5$。

同様に、$a_4 = l_1 a_1 + l_2 a_2$ を成分ごとに書くと、

$-c = l_1 + 2l_2$

$-7 = 2l_1 + 5l_2$

$6 = 3l_1 + cl_2$

一つ目の式から、$l_1 = -c - 2l_2$。これを二つ目の式に代入すると、

$-7 = 2(-c - 2l_2) + 5l_2 = -2c + l_2$ より $l_2 = 2c - 7$。

よって、$l_1 = -c - 2(2c - 7) = 14 - 5c$。

これを三つ目の式に代入すると、

$6 = 3(14 - 5c) + c(2c - 7) = 42 - 15c + 2c^2 - 7c$

$2c^2 - 22c + 36 = 0$

$c^2 - 11c + 18 = 0$

$(c - 2)(c - 9) = 0$

したがって、$c = 2$ または $c = 9$。

$a_3$ と $a_4$ が共に $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表される必要があるため、$c = 2$ が共通の解となる。

3. 最終的な答え

$c = 2$