赤球と白球が合わせて10個入っている袋から、2個の球を同時に取り出す。赤球の個数を $n$ とする ($2 \le n \le 9$) 。 (1) 赤球を2個取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような $n$ を求める。 (2) 赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が $1/3$ 以上になるような $n$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

赤球と白球が合わせて10個入っている袋から、2個の球を同時に取り出す。赤球の個数を $n$ とする ($2 \le n \le 9$) 。

(1) 赤球を2個取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような $n$ を求める。

(2) 赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が $1/3$ 以上になるような $n$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

赤球を2個取り出す確率は、

$\frac{n \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{n(n-1)/2}{10 \cdot 9 / 2} = \frac{n(n-1)}{90}$

赤球と白球を1個ずつ取り出す確率は、白球の個数が $10-n$ であるから、

$\frac{n \choose 1}{10 \choose 2} \times \frac{10-n \choose 1}{10 \choose 2} = \frac{n(10-n)}{45}$

したがって、

$\frac{n(n-1)}{90} = \frac{n(10-n)}{45}$

$n(n-1) = 2n(10-n)$

$n-1 = 2(10-n)$ ($n \ne 0$ より)

$n-1 = 20 - 2n$

$3n = 21$

$n = 7$

(2)

赤球と白球を1個ずつ取り出す確率は、 $\frac{n(10-n)}{45}$ である。

これが $\frac{1}{3}$ 以上であるから、

$\frac{n(10-n)}{45} \ge \frac{1}{3}$

$n(10-n) \ge 15$

$10n - n^2 \ge 15$

$n^2 - 10n + 15 \le 0$

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 60}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$

$\sqrt{10} \approx 3.16$ であるから、

$5 - 3.16 \le n \le 5 + 3.16$

$1.84 \le n \le 8.16$

$n$ は整数で $2 \le n \le 9$ であるから、 $2 \le n \le 8$

3. 最終的な答え

(1) $n=7$

(2) $2 \le n \le 8$