箱Aには当たりくじ4枚、はずれくじ1枚、箱Bには当たりくじ2枚、はずれくじ3枚が入っている。 硬貨を投げて表が出れば箱Aから、裏が出れば箱Bからくじを引く。引いたくじは戻さない。 以下の確率を求める。 (1) 1回目に当たりくじを引く確率 (2) 1回目に引いた当たりくじが箱Aからである条件付き確率 (3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率 (4) 2回続けて当たりくじを引き、少なくとも1枚は箱Aから引いたものである確率

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

箱Aには当たりくじ4枚、はずれくじ1枚、箱Bには当たりくじ2枚、はずれくじ3枚が入っている。

硬貨を投げて表が出れば箱Aから、裏が出れば箱Bからくじを引く。引いたくじは戻さない。

以下の確率を求める。

(1) 1回目に当たりくじを引く確率

(2) 1回目に引いた当たりくじが箱Aからである条件付き確率

(3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率

(4) 2回続けて当たりくじを引き、少なくとも1枚は箱Aから引いたものである確率

2. 解き方の手順

(1) 1回目に当たりくじを引く確率

硬貨を投げて表が出る確率は1/2、裏が出る確率は1/2。

表が出た場合、箱Aから当たりを引く確率は4/5。

裏が出た場合、箱Bから当たりを引く確率は2/5。

したがって、1回目に当たりくじを引く確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(2) 1回目に引いた当たりくじが箱Aからである条件付き確率

1回目に当たりくじを引く事象をT、箱Aから当たりくじを引く事象をAとする。

求めるのは $P(A|T) = \frac{P(A \cap T)}{P(T)}$

$P(T) = \frac{3}{5}$ (上記(1)より)

$P(A \cap T) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$P(A|T) = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$

(3) 2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率

1回目に表が出て、箱Aから当たりくじを引く確率は $\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$ 。

このとき、箱Aには当たりくじが3枚、はずれくじが1枚残っている。

2回目に再び表が出て、箱Aから当たりくじを引く確率は $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$ 。

したがって、2回続けて箱Aから当たりくじを引く確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$

(4) 2回続けて当たりくじを引き、少なくとも1枚は箱Aから引いたものである確率

2回続けて当たりくじを引く確率は以下の3パターンがある。

(i) 1回目A当たり、2回目A当たり

(ii) 1回目A当たり、2回目B当たり

(iii) 1回目B当たり、2回目A当たり

(i)は(3)より$\frac{3}{20}$

(ii)1回目A当たり、2回目B当たり：$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

(iii)1回目B当たり、2回目A当たり：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4} = \frac{8}{40} = \frac{1}{10}$

求める確率は、

$\frac{3}{20} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{20} + \frac{4}{20} + \frac{2}{20} = \frac{9}{20}$

3. 最終的な答え

(1) 19: ウ. 3/5

(2) 20: イ. 2/3

(3) 21: ア. 3/20

(4) 22: (上記解答に選択肢がないので計算し直す)

2回続けて当たりくじを引く確率は以下の4パターンがある。

(i) 1回目A当たり、2回目A当たり

(ii) 1回目A当たり、2回目B当たり

(iii) 1回目B当たり、2回目A当たり

(iv) 1回目B当たり、2回目B当たり

(i)1回目A当たり、2回目A当たり：$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$

(ii)1回目A当たり、2回目B当たり：$\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}$

(iii)1回目B当たり、2回目A当たり：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{4} = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}$

(iv)1回目B当たり、2回目B当たり：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$

2回続けて当たりくじを引く確率は$\frac{3}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{3+2+2+1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

少なくとも１枚が箱Aから引いた当たりくじの条件付き確率は

$(\frac{3}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}) / \frac{2}{5} = \frac{\frac{7}{20}}{\frac{8}{20}} = \frac{7}{8}$

少なくとも1枚箱Aから引いた当たりである確率は、上記の(i),(ii),(iii)の和なので

$\frac{3}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{7}{20}$

解答群に合うものがないので、問題文の解釈が間違っている可能性があります。

問題文を「2回続けてくじを引き、少なくとも1回はAの箱から当たりを引いた」場合の確率と解釈する。

つまり、2回とも当たりを引く必要はない。

(i)1回目A当たり $\frac{4}{5}$

(ii)2回目A当たり $\frac{1}{2}\frac{4}{5} + \frac{1}{2}\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$

少なくとも１回A当たり = 1 - 2回ともBから外れ

$1- (\frac{1}{2} \frac{3}{5} )(\frac{1}{2}\frac{2}{4} + \frac{1}{2}\frac{3}{4})= 1 - \frac{3}{10} * \frac{5}{8}= 1-\frac{15}{80}=\frac{65}{80}=\frac{13}{16}$　これも当てはまらない。

(4) 22: 解答群に正しい答えがない