問題4.5は、放射性炭素($^{14}C$)の崩壊に関する問題です。 (a) 半減期が5730年であるとき、崩壊定数を求めます。 (b) 2000年経過後、$^{14}C$原子数が最初の何%になるかを求めます。

1. 問題の内容

問題4.5は、放射性炭素($^{14}C$)の崩壊に関する問題です。

(a) 半減期が5730年であるとき、崩壊定数を求めます。

(b) 2000年経過後、$^{14}C$原子数が最初の何%になるかを求めます。

2. 解き方の手順

(a) 崩壊定数 $\lambda$ の計算：

放射性崩壊は指数関数的に減少します。ある時間 $t$ 後の原子数 $N(t)$ は、初期原子数 $N_0$ を用いて以下のように表されます。

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

半減期 $T_{1/2}$ は、原子数が初期値の半分になる時間です。

$N(T_{1/2}) = \frac{1}{2} N_0$

よって、

$\frac{1}{2} N_0 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$

$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$

両辺の自然対数を取ると、

$\ln \frac{1}{2} = -\lambda T_{1/2}$

$-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

半減期 $T_{1/2} = 5730$ 年なので、

$\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$

(b) 2000年後の原子数の割合：

2000年後の原子数 $N(2000)$ は、

$N(2000) = N_0 e^{-\lambda \times 2000}$

初期原子数に対する割合は、

$\frac{N(2000)}{N_0} = e^{-\lambda \times 2000}$

$\frac{N(2000)}{N_0} = e^{-\frac{\ln 2}{5730} \times 2000}$

$\frac{N(2000)}{N_0} = e^{-\frac{2000 \ln 2}{5730}}$

$\frac{N(2000)}{N_0} = e^{\ln 2^{-\frac{2000}{5730}}}$

$\frac{N(2000)}{N_0} = 2^{-\frac{2000}{5730}}$

この値を計算し、100を掛ければパーセントで表せます。

3. 最終的な答え

(a) 崩壊定数 $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 0.000121 \text{ year}^{-1}$

(b) 2000年後の$^{14}C$原子数は、初期値の $2^{-\frac{2000}{5730}} \times 100 \approx 78.5 \%$ になります。