$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるということは、$13.5^n$ が $1000$ 以上 $10000$ 未満であるということです。

すなわち、

$1000 \le 13.5^n < 10000$

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 1000 \le \log_{10} 13.5^n < \log_{10} 10000$

$3 \le n \log_{10} 13.5 < 4$

$13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3^3}{2}$ であるから、

$\log_{10} 13.5 = \log_{10} \frac{3^3}{2} = 3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2 = 3(0.4771) - 0.3010 = 1.4313 - 0.3010 = 1.1303$

したがって、

$3 \le 1.1303n < 4$

各辺を $1.1303$ で割ると、

$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$

$2.654 \le n < 3.539$

$n$ は整数なので、$n=3$ となります。

しかし、問題文は整数nの個数を求めているので、範囲を正しく評価する必要があります。

$1000 \le (27/2)^n < 10000$

$3 \le n \log_{10} (27/2) < 4$

$3 \le n (\log_{10} 27 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n (3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n (3(0.4771) - 0.3010) < 4$

$3 \le n (1.4313 - 0.3010) < 4$

$3 \le n(1.1303) < 4$

$3/1.1303 \le n < 4/1.1303$

$2.654 \le n < 3.539$

整数 $n$ は 3 のみ。

nの個数は1個。

しかし、問題は「整数部分が4桁であるような整数nの個数」なので、

$1000 \le 13.5^n < 10000$ を満たす整数 $n$ の個数を求めます。

$n=3$ のとき、$13.5^3 = 2460.375$ なので、確かに4桁です。

$n=2$ のとき、$13.5^2 = 182.25$ なので、3桁です。

$n=4$ のとき、$13.5^4 = 33215.0625$ なので、5桁です。

したがって、$13.5^n$ の整数部分が4桁になるのは $n=3$ のときだけです。

3. 最終的な答え

1個