与えられたマクロ経済モデルにおいて、総需要曲線（AD曲線）を導出し、物価水準 $P=3$ のときの実質GDP（$Y$）を求める。 与えられた方程式は以下の通り： \begin{align*} Y &= C + I + G \\ C &= 10 + 0.7Y \\ I &= 60 - 50r \\ G &= 32 \\ \frac{M}{P} &= L \\ L &= 87 + 0.2Y - 50i \\ M &= 150 \\ \pi^e &= 0.1 \end{align*} ここで、$r$ は実質金利、$i$ は名目金利、$\pi^e$ は期待インフレ率である。フィッシャー方程式 $i = r + \pi^e$ が成り立つ。

1. 問題の内容

与えられたマクロ経済モデルにおいて、総需要曲線（AD曲線）を導出し、物価水準 $P=3$ のときの実質GDP（$Y$）を求める。

与えられた方程式は以下の通り：

\begin{align*}

Y &= C + I + G \\

C &= 10 + 0.7Y \\

I &= 60 - 50r \\

G &= 32 \\

\frac{M}{P} &= L \\

L &= 87 + 0.2Y - 50i \\

M &= 150 \\

\pi^e &= 0.1

\end{align*}

ここで、$r$ は実質金利、$i$ は名目金利、$\pi^e$ は期待インフレ率である。フィッシャー方程式 $i = r + \pi^e$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

(1) 総需要曲線（AD曲線）を導出する。

$Y = C + I + G$ に各変数の式を代入する。

$$Y = (10 + 0.7Y) + (60 - 50r) + 32$$

$$Y = 102 + 0.7Y - 50r$$

$$0.3Y = 102 - 50r$$

$$Y = \frac{102 - 50r}{0.3} = \frac{1020}{3} - \frac{500}{3}r$$

$$Y = 340 - \frac{500}{3}r \quad (1)$$

貨幣市場の均衡条件 $M/P = L$ に各変数の式を代入する。

$$\frac{150}{P} = 87 + 0.2Y - 50i$$

ここで、$i = r + \pi^e = r + 0.1$ であるから、

$$\frac{150}{P} = 87 + 0.2Y - 50(r + 0.1)$$

$$\frac{150}{P} = 87 + 0.2Y - 50r - 5$$

$$\frac{150}{P} = 82 + 0.2Y - 50r$$

$$50r = 82 + 0.2Y - \frac{150}{P}$$

$$r = \frac{82}{50} + \frac{0.2}{50}Y - \frac{150}{50P}$$

$$r = \frac{41}{25} + \frac{1}{250}Y - \frac{3}{P} \quad (2)$$

(1)式に(2)式を代入する。

$$Y = 340 - \frac{500}{3} \left( \frac{41}{25} + \frac{1}{250}Y - \frac{3}{P} \right)$$

$$Y = 340 - \frac{500}{3} \cdot \frac{41}{25} - \frac{500}{3} \cdot \frac{1}{250}Y + \frac{500}{3} \cdot \frac{3}{P}$$

$$Y = 340 - \frac{20 \cdot 41}{3} - \frac{2}{3}Y + \frac{500}{P}$$

$$Y + \frac{2}{3}Y = 340 - \frac{820}{3} + \frac{500}{P}$$

$$\frac{5}{3}Y = \frac{1020 - 820}{3} + \frac{500}{P}$$

$$\frac{5}{3}Y = \frac{200}{3} + \frac{500}{P}$$

$$Y = \frac{3}{5} \left( \frac{200}{3} + \frac{500}{P} \right)$$

$$Y = 40 + \frac{300}{P}$$

これがAD曲線である。

(2) $P=3$ のときの実質GDP（$Y$）を求める。

$$Y = 40 + \frac{300}{3}$$

$$Y = 40 + 100$$

$$Y = 140$$

3. 最終的な答え

AD曲線は、$Y = 40 + \frac{300}{P}$

$P=3$ のときの実質GDPは、$Y = 140$