縦15m、横20mの長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道を作ったところ、道を除いた土地の面積が元の土地の面積の半分になった。道の幅を求める。

1. 問題の内容

縦15m、横20mの長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道を作ったところ、道を除いた土地の面積が元の土地の面積の半分になった。道の幅を求める。

2. 解き方の手順

道の幅を $x$ (m) とする。

元の土地の面積は $15 \times 20 = 300$ (m$^2$) である。

道を除いた土地の面積は、元の土地の面積の半分なので、$300 \times \frac{1}{2} = 150$ (m$^2$) である。

道を除いた土地の面積を、$x$ を用いて表すことを考える。

道を除いた長方形の土地は、縦の長さが $15-x$ (m)、横の長さが $20-x$ (m) である。

したがって、道を除いた土地の面積は $(15-x)(20-x)$ (m$^2$) と表せる。

この面積は 150 m$^2$ なので、

$(15-x)(20-x) = 150$

という方程式が成り立つ。

これを解く。

$300 - 15x - 20x + x^2 = 150$

$x^2 - 35x + 300 = 150$

$x^2 - 35x + 150 = 0$

$(x-5)(x-30) = 0$

$x = 5, 30$

ここで、$x$ は道の幅を表すので、$x < 15$ かつ $x < 20$ を満たす必要がある。

したがって、$x = 5$ である。$x=30$ は不適である。

3. 最終的な答え

道の幅は 5 m