実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 0$ を満たすとき、 $x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = 0$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 0$ を満たすとき、

$x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = 0$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

与えられた式 $x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = 0$ の左辺を因数分解することを試みる。

まず、この式を次のように変形する。

$x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x) + 3xyz$

条件 $x+y+z=0$ より、$x+y = -z$, $y+z = -x$, $z+x = -y$ である。

これらを代入すると、

$xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x) + 3xyz = xy(-z) + yz(-x) + zx(-y) + 3xyz = -xyz - xyz - xyz + 3xyz = -3xyz + 3xyz = 0$

したがって、$x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = 0$ が成り立つことが証明された。