半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。最初、点Cは(3, 0)にあり、円O上の点A(4, 0)に円C上の点Pが重なっている。 (1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) となったとき、円Oと円Cの接点をBとして、$\angle BCP$の大きさを求める。 (2) (1)のとき、点Pの座標$(x, y)$を$\theta$を用いて表す。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。最初、点Cは(3, 0)にあり、円O上の点A(4, 0)に円C上の点Pが重なっている。

(1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) となったとき、円Oと円Cの接点をBとして、$\angle BCP$の大きさを求める。

(2) (1)のとき、点Pの座標$(x, y)$を$\theta$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

円Cが円Oの内側を転がる場合、円Cが$\theta$回転すると、円Cの中心Cは$\theta$だけ回転する。円Cが転がる距離は、円O上の弧ABの長さに等しい。

弧ABの長さは $4\theta$ である。

円Cの半径は1なので、円Cが回転する角度を$\phi$とすると、$1 \cdot \phi = 4\theta$、したがって$\phi = 4\theta$である。

$\angle BCP = \frac{\phi}{2} = \frac{4\theta}{2} = 2\theta$

(2)

点Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$である。

$\angle BCP = 2\theta$なので、$\angle xCP = \theta + \frac{3\pi}{2} + 2\theta = 3\theta + \frac{3\pi}{2}$である。

したがって、$x = 3\cos\theta + \cos(3\theta + \frac{3\pi}{2}) = 3\cos\theta + \sin(3\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(3\theta + \frac{3\pi}{2}) = 3\sin\theta - \cos(3\theta)$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BCP = 2\theta$

(2)

$x = 3\cos\theta + \sin(3\theta)$

$y = 3\sin\theta - \cos(3\theta)$