座標平面上に原点Oがあり、直線 $y = 2x$ (直線①) と $y = -2x + 8$ (直線②) がある。(1) でこれらの直線を描き、(2) で直線①と②の交点をAとする。点Aからx軸に下ろした垂線の足をBとする。線分OB上に点Pをとり、Pからy軸に平行な直線を引き、直線①との交点をSとする。Sからx軸に平行な直線を引き、直線②との交点をRとする。Rからx軸に下ろした垂線の足をQとする。このとき、長方形PQRSの面積の最大値mとその時の点Pのx座標の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に原点Oがあり、直線 $y = 2x$ (直線①) と $y = -2x + 8$ (直線②) がある。(1) でこれらの直線を描き、(2) で直線①と②の交点をAとする。点Aからx軸に下ろした垂線の足をBとする。線分OB上に点Pをとり、Pからy軸に平行な直線を引き、直線①との交点をSとする。Sからx軸に平行な直線を引き、直線②との交点をRとする。Rからx軸に下ろした垂線の足をQとする。このとき、長方形PQRSの面積の最大値mとその時の点Pのx座標の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = 2x$ と $y = -2x + 8$ を座標平面に描く。（作図は省略）

(2) まず、点Aの座標を求める。

$2x = -2x + 8$ を解くと、

$4x = 8$

$x = 2$

$y = 2(2) = 4$

よって、A(2, 4) である。

点BはAからx軸に下ろした垂線の足なので、B(2, 0) である。

点Pのx座標を $t$ とすると、$0 < t < 2$ である。

Pは線分OB上にあるので、点Pの座標は $(t, 0)$ となる。

点Sは、Pからy軸に平行な直線と直線① $y = 2x$ の交点なので、Sのx座標は $t$ である。よってSのy座標は $2t$ となる。ゆえに、S(t, 2t)である。

点Rは、Sからx軸に平行な直線と直線② $y = -2x + 8$ の交点である。

Rのy座標はSのy座標と同じなので、 $y = 2t$ である。

$2t = -2x + 8$ を解くと、

$2x = 8 - 2t$

$x = 4 - t$

よって、R(4 - t, 2t)である。

点QはRからx軸に下ろした垂線の足なので、Q(4 - t, 0)である。

長方形PQRSの辺の長さを求める。

PQ = (4 - t) - t = 4 - 2t

PS = 2t - 0 = 2t

長方形PQRSの面積をTとすると、

$T = PQ \cdot PS = (4 - 2t)(2t) = 8t - 4t^2 = -4t^2 + 8t$

面積Tを最大にするtの値を求める。

$T = -4(t^2 - 2t) = -4(t^2 - 2t + 1 - 1) = -4((t - 1)^2 - 1) = -4(t - 1)^2 + 4$

よって、$t = 1$ のとき、Tは最大値4をとる。

したがって、長方形PQRSの面積の最大値は $m = 4$ である。そのときの点Pのx座標は $t = 1$ である。

3. 最終的な答え

長方形PQRSの面積の最大値 m = 4

その時の点Pのx座標の値 = 1