四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=5, CD=t, DA=3-tである。四角形ABCDが外接円を持つとき、面積Sの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=5, CD=t, DA=3-tである。四角形ABCDが外接円を持つとき、面積Sの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

四角形ABCDが円に内接するので、ブラーマグプタの公式が使える。

まず、$t$の範囲を求める。四角形の辺の長さは正である必要があるので、

$t>0$かつ$3-t>0$より、$0<t<3$である。

ブラーマグプタの公式より、四角形ABCDの面積Sは

$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ここで、$a, b, c, d$は四角形の辺の長さであり、$s$は半周長である。

この問題の場合、$a=4, b=5, c=t, d=3-t$なので、

$s = \frac{4+5+t+3-t}{2} = \frac{12}{2} = 6$

したがって、

$S = \sqrt{(6-4)(6-5)(6-t)(6-(3-t))}$

$S = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot (6-t)(3+t)}$

$S = \sqrt{2(18+6t-3t-t^2)}$

$S = \sqrt{2(-t^2+3t+18)}$

$S = \sqrt{-2t^2+6t+36}$

$S$を最大にする$t$の値を求める。

$f(t) = -2t^2+6t+36$とおくと、$S=\sqrt{f(t)}$であるから、$f(t)$が最大となるとき$S$も最大になる。

$f(t) = -2(t^2-3t)+36 = -2(t^2-3t+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+36 = -2(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}+36 = -2(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{81}{2}$

$f(t)$は$t=\frac{3}{2}$のとき最大値$\frac{81}{2}$をとる。

$t=\frac{3}{2}$は$0<t<3$を満たすので、面積Sが最大となるのは$t=\frac{3}{2}$のときである。

このとき、面積$S$の最大値は

$S = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{2}}{2}$