中心がP、半径がrの円Cがある。この円Cは以下の条件を満たす。 (a) 円 $C_1: x^2 + y^2 - 1 = 0$ と円 $C_2: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ に外接する。 (b) 中心Pは第1象限にあり、Pと原点を結ぶ線分とx軸の正の部分とのなす角が60度である。 このとき、円Cの半径rと中心Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

中心がP、半径がrの円Cがある。この円Cは以下の条件を満たす。

(a) 円 $C_1: x^2 + y^2 - 1 = 0$ と円 $C_2: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ に外接する。

(b) 中心Pは第1象限にあり、Pと原点を結ぶ線分とx軸の正の部分とのなす角が60度である。

このとき、円Cの半径rと中心Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 円 $C_1$ は中心(0,0)、半径1の円である。円 $C_2$ は $(x-3)^2 + y^2 = 4$ と変形できるので、中心(3,0)、半径2の円である。

(b) 中心Pは第1象限にあり、Pと原点を結ぶ線分とx軸の正の部分とのなす角が60度なので、Pの座標は $(a, \sqrt{3}a)$ と表せる。

(c) 円Cが円 $C_1$ に外接するので、中心間の距離は半径の和に等しい。

$\sqrt{(a-0)^2 + (\sqrt{3}a - 0)^2} = r+1$

$\sqrt{a^2 + 3a^2} = r+1$

$\sqrt{4a^2} = r+1$

$2a = r+1$

(d) 円Cが円 $C_2$ に外接するので、中心間の距離は半径の和に等しい。

$\sqrt{(a-3)^2 + (\sqrt{3}a - 0)^2} = r+2$

$\sqrt{a^2 - 6a + 9 + 3a^2} = r+2$

$\sqrt{4a^2 - 6a + 9} = r+2$

(e) $2a = r+1$ より、$r = 2a-1$ である。これを$\sqrt{4a^2 - 6a + 9} = r+2$に代入すると、

$\sqrt{4a^2 - 6a + 9} = (2a-1)+2$

$\sqrt{4a^2 - 6a + 9} = 2a+1$

両辺を2乗して

$4a^2 - 6a + 9 = 4a^2 + 4a + 1$

$-6a + 9 = 4a + 1$

$10a = 8$

$a = \frac{4}{5}$

(f) $r = 2a - 1 = 2 \cdot \frac{4}{5} - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}$

Pの座標は$(\frac{4}{5}, \frac{4\sqrt{3}}{5})$

3. 最終的な答え

半径rは $\frac{3}{5}$

中心Pの座標は $(\frac{4}{5}, \frac{4\sqrt{3}}{5})$