実質金利 $r=0.25$ に直面する企業の利潤最大化を考える。企業の異時点間の生産関数が $Y_2=F(I_1)=1.5\ln(I_1+1)$ のとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるか。

1. 問題の内容

実質金利 $r=0.25$ に直面する企業の利潤最大化を考える。企業の異時点間の生産関数が $Y_2=F(I_1)=1.5\ln(I_1+1)$ のとき、最適な設備投資 $I_1$ はいくらになるか。

2. 解き方の手順

企業の利潤最大化問題を解く。利潤は、将来の生産量から投資額を差し引いたものの現在価値で表される。すなわち、利潤$\pi$は

$\pi = \frac{Y_2}{1+r} - I_1$

ここで、$Y_2 = 1.5\ln(I_1 + 1)$ であり、$r = 0.25$ であるから、

$\pi = \frac{1.5\ln(I_1 + 1)}{1+0.25} - I_1 = \frac{1.5\ln(I_1 + 1)}{1.25} - I_1 = 1.2\ln(I_1 + 1) - I_1$

利潤を最大化するには、$\pi$を$I_1$で微分して0とおけばよい。

$\frac{d\pi}{dI_1} = 1.2 \cdot \frac{1}{I_1+1} - 1 = 0$

$\frac{1.2}{I_1+1} = 1$

$1.2 = I_1+1$

$I_1 = 1.2 - 1$

$I_1 = 0.2$

3. 最終的な答え

最適な設備投資は $0.2$ となる。