半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑らずに転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。最初に点Cは(3, 0)にあり、このとき円O上の点A(4, 0)に重なっている円C上の点をPとする。 (1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$)となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求める。 (2) (1)のとき、点Pの座標$(x, y)$を$\theta$を用いて表す。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑らずに転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。最初に点Cは(3, 0)にあり、このとき円O上の点A(4, 0)に重なっている円C上の点をPとする。

(1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$)となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求める。

(2) (1)のとき、点Pの座標$(x, y)$を$\theta$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円O上の弧ABの長さと、円C上の弧PBの長さは等しい。

弧ABの長さは $4\theta$ である。

円Cの回転角を$\phi$とすると、弧PBの長さは $1\cdot \phi = \phi$ である。

よって、$\phi = 4\theta$ である。

$\angle BCO = \pi - \phi = \pi - 4\theta$ である。

$\angle OCB = \pi - (\pi - 4\theta) = 4\theta$.

$\angle BCP = \frac{1}{2} \times \phi = \frac{4\theta}{2} = 2\theta$

$\angle BCP = \frac{\pi - 4\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - 2\theta$

(2)

点Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$である。

点Pは、点Cを中心に、角$4\theta - \frac{3\pi}{2}$回転した位置にある。

$x = 3\cos\theta + \cos(\theta + \frac{3\pi}{2})$

$y = 3\sin\theta + \sin(\theta + \frac{3\pi}{2})$

$x = 3\cos\theta + \cos(\theta + 4\theta)$

$x = 3\cos\theta + \cos(-3\theta)$

$x = 3\cos\theta + \cos(3\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(\theta + 4\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(3\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(-3\theta)$

3. 最終的な答え

(1)

$\angle BCP = \frac{\pi}{2} - 2\theta$

(2)

$x = 3\cos\theta + \cos(3\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(3\theta)$