座標空間内に3点 $A(0, 1, 2)$, $B(2, 3, 0)$, $P(5+t, 9+2t, 5+3t)$ が与えられています。線分OPと線分ABが交点を持つような実数 $t$ が存在することを示し、その交点の座標を求めます。ここで、Oは原点 $(0, 0, 0)$ です。

1. 問題の内容

座標空間内に3点 $A(0, 1, 2)$, $B(2, 3, 0)$, $P(5+t, 9+2t, 5+3t)$ が与えられています。線分OPと線分ABが交点を持つような実数 $t$ が存在することを示し、その交点の座標を求めます。ここで、Oは原点 $(0, 0, 0)$ です。

2. 解き方の手順

線分AB上の点をパラメータ $s$ を用いて表します。

$AB$上の点は、

$(1-s)A + sB = (1-s)(0, 1, 2) + s(2, 3, 0) = (2s, 1+2s, 2-2s)$

と表すことができます。ここで、$0 \le s \le 1$ です。

線分OP上の点は、パラメータ $r$ を用いて表します。

$OP$上の点は、

$rP = r(5+t, 9+2t, 5+3t)$

と表すことができます。ここで、$0 \le r \le 1$ です。

線分OPと線分ABが交点を持つためには、ある $s$ と $r$ が存在して、次の連立方程式が成り立つ必要があります。

$2s = r(5+t)$

$1+2s = r(9+2t)$

$2-2s = r(5+3t)$

ここで、$0 \le s \le 1$ かつ $0 \le r \le 1$ である必要があります。

3つの式を足し合わせると、

$2s + 1 + 2s + 2 - 2s = r(5+t) + r(9+2t) + r(5+3t)$

$3 + 2s = r(19+6t)$

最初の2つの式から$s$を消去します。2番目の式から1番目の式を引くと、

$1 = r(4+t)$

これから $r = \frac{1}{4+t}$ が得られます。

$r = \frac{1}{4+t}$ を3番目の式に代入します。

$2-2s = \frac{5+3t}{4+t}$

$2s = 2 - \frac{5+3t}{4+t} = \frac{8+2t-5-3t}{4+t} = \frac{3-t}{4+t}$

$s = \frac{3-t}{2(4+t)} = \frac{3-t}{8+2t}$

$r = \frac{1}{4+t}$ を1番目の式に代入します。

$2s = \frac{5+t}{4+t}$

$s = \frac{5+t}{2(4+t)} = \frac{5+t}{8+2t}$

よって、

$\frac{3-t}{8+2t} = \frac{5+t}{8+2t}$

$3-t = 5+t$

$-2 = 2t$

$t = -1$

$t=-1$のとき、$r = \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}$ となります。

$s = \frac{3-(-1)}{8+2(-1)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ となります。

ここで、 $0 \le s \le 1$ かつ $0 \le r \le 1$ を満たしているので、交点が存在します。

交点の座標は、線分AB上の点で表すと、

$(2s, 1+2s, 2-2s) = (\frac{4}{3}, 1 + \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3}) = (\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{2}{3})$

線分OP上の点で表すと、

$P = (5+t, 9+2t, 5+3t) = (4, 7, 2)$

$rP = \frac{1}{3}(4, 7, 2) = (\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{2}{3})$

3. 最終的な答え

$t = -1$ のとき、線分OPと線分ABは交点を持ち、その座標は $(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{2}{3})$ です。