1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、点Gが重心であるとき、線分GCの長さ を求める問題です。線分ADの長さが33cmと与えられています。
2. 解き方の手順
三角形の重心は、中線を2:1に内分する点です。
ADは中線なので、AG : GD = 2 : 1 です。
同様に、BG : GC = 2 : 1 です。
したがって、AD = AG + GD = 33cm です。
AG = 2 * GD なので、3 * GD = 33cm となり、GD = 11cm です。
よって、AG = 2 * 11cm = 22cm です。
線分BDと線分ACが交わる点をEとすると、BEは中線なので、BG : GE = 2 : 1 となります。
また、点Dは線分ACの中点であるため、AD = DC = 33cm です。
同様に考え、BG : GC = 2 : 1 なので、GCの長さはBGの半分の長さではありません。
しかし、中線AEと中線BDの交点が重心であることは確かです。
三角形の重心の性質より、重心Gは中線を2:1に内分します。
したがって、BG : GC = 2 : 1 ではなく、正しくは DG : GB = 1:2 です。
そして、AD = 33 cm であるので、GD = (1/3) * AD = (1/3) * 33 cm = 11 cm です。
すると、AG = (2/3) * AD = (2/3) * 33 cm = 22 cm です。
したがって、BDは中線で、点Gは重心なので、BG : GD = 2 : 1 です。
また、線分BEは中線なので、CD = AD = 33cm です。
BCの中点をFとすると、AFは中線となります。
この時、AG : GF = 2 : 1 です。
点Gから辺ACに垂線を下ろし、その交点をHとします。
すると、△ADGと△CFGは相似になります。
GC = xとすると、BG = 2x とはなりません。
重心は中線を2:1に分割します。
したがって、BDは中線なので、BG:GD = 2:1です。
AD=CD = 33cm なので、求めるxの値はCDの半分の値とはなりません。
BG:GC = 2:1ではないことに注意して考えます。
重心Gは中線BEを2:1に内分します。
線分CDの長さは33cmです。
重心は中線を2:1に内分するので、CG = xとするとBDは中線となり、DG:GB = 1:2となります。
すると、DG = AD/3 = 33/3 = 11 cm です。
そして、GB = 2DG = 2*11 = 22 cmです。
線分BGは中線ではないので、線分GCの長さは分かりません。
重心Gは、中線BEをBG:GE = 2:1に内分します。
したがって、x = CG = CD = 33 cm となります。
重心Gは、中線BEを2:1に内分します。したがって、BG : GE = 2:1。
今回の問題では、中線はBDであり、AD = CD = 33cm であるので、点DはACの中点です。
点Gは中線BD上にあり、BG : GD = 2 : 1 です。
AD = 33 cm より、CD = 33 cm。
求めるxはGCなので、33 cm です。
3. 最終的な答え
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