与えられた漸化式と初期条件から数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) 初期条件は $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ で、漸化式は $a_{n+2} + 6a_{n+1} + 8a_n = 0$ です。 (2) 初期条件は $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ で、漸化式は $a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) 初期条件は $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ で、漸化式は $a_{n+2} + 6a_{n+1} + 8a_n = 0$ です。

(2) 初期条件は $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ で、漸化式は $a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ です。

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+2} + 6a_{n+1} + 8a_n = 0$ の特性方程式は $x^2 + 6x + 8 = 0$ です。

これを解くと、$(x+2)(x+4) = 0$ より $x = -2, -4$ となります。

したがって、一般項は $a_n = A(-2)^n + B(-4)^n$ と表せます。

初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ を代入すると、

$-2A - 4B = 1$

$4A + 16B = 3$

これを解くと、

$4A + 8B = -2$

$4A + 16B = 3$

$8B = 5$ より $B = \frac{5}{8}$

$-2A - 4 \cdot \frac{5}{8} = 1$

$-2A = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$

$A = -\frac{7}{4}$

したがって、$a_n = -\frac{7}{4}(-2)^n + \frac{5}{8}(-4)^n$

(2)

漸化式 $a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ の特性方程式は $x^2 + 3x - 4 = 0$ です。

これを解くと、$(x+4)(x-1) = 0$ より $x = -4, 1$ となります。

したがって、一般項は $a_n = A(-4)^n + B(1)^n = A(-4)^n + B$ と表せます。

初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ を代入すると、

$-4A + B = 1$

$16A + B = 2$

これを解くと、

$20A = 1$ より $A = \frac{1}{20}$

$-4 \cdot \frac{1}{20} + B = 1$

$B = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

したがって、$a_n = \frac{1}{20}(-4)^n + \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -\frac{7}{4}(-2)^n + \frac{5}{8}(-4)^n$

(2) $a_n = \frac{1}{20}(-4)^n + \frac{6}{5}$