## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた5つの対数に関する式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4$

(2) $\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6}$

(3) $\log_2 3 \cdot \log_3 27 \cdot \log_{27} 25 \cdot \log_5 32$

(4) $2^{\frac{1}{4} \log_2 \frac{1}{16}}$

(5) $\log_2[\log_2\{\log_2(\log_2 16)\}]$

## 解き方の手順

**(1) $\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4$**

まず、各項を計算します。

$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

$\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

したがって、

$\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_2 4 = 3 - \frac{1}{2} - 2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

**(2) $\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6}$**

対数の性質を利用して、式をまとめます。

$\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6} = \log_3 \frac{\frac{27}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{6}}{18} = \log_3 \frac{27 \cdot 2\sqrt{6}}{18\sqrt{2}}$

$\frac{27 \cdot 2\sqrt{6}}{18\sqrt{2}} = \frac{54\sqrt{6}}{18\sqrt{2}} = 3\sqrt{\frac{6}{2}} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$\log_3 \frac{27}{\sqrt{2}} - \log_3 18 + \log_3 2\sqrt{6} = \log_3 3\sqrt{3} = \log_3 (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

**(3) $\log_2 3 \cdot \log_3 27 \cdot \log_{27} 25 \cdot \log_5 32$**

底の変換公式を利用します。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

$\log_2 3 \cdot \log_3 27 \cdot \log_{27} 25 \cdot \log_5 32 = \log_2 3 \cdot \log_3 3^3 \cdot \log_{3^3} 5^2 \cdot \log_5 2^5$

$= \log_2 3 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} \log_3 5 \cdot 5 \log_5 2 = \log_2 3 \cdot 2 \log_3 5 \cdot 5 \log_5 2$

$= 10 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 2 = 10 \cdot \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 2}{\log 5} = 10 \cdot 1 = 10$

**(4) $2^{\frac{1}{4} \log_2 \frac{1}{16}}$**

$\frac{1}{16} = 2^{-4}$であるから、

$\log_2 \frac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4$

したがって、

$2^{\frac{1}{4} \log_2 \frac{1}{16}} = 2^{\frac{1}{4} (-4)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

**(5) $\log_2[\log_2\{\log_2(\log_2 16)\}]$**

$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

$\log_2 2 = 1$

したがって、

$\log_2[\log_2\{\log_2(\log_2 16)\}] = \log_2[\log_2\{\log_2(4)\}] = \log_2[\log_2\{2\}] = \log_2[1] = 0$

## 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $10$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $0$