与えられた実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ によって対角化し、対角行列と直交行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ によって対角化し、対角行列と直交行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める:

$A$ の固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(\lambda^2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda + 1) = -(\lambda - 1)^2(\lambda + 1)$

固有値は $\lambda_1 = 1$ (重複度 2), $\lambda_2 = -1$ である。

(2) 固有ベクトルを求める:

固有値 $\lambda = 1$ に対する固有ベクトルを求める。

$(A - I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + z = 0$ より $x = z$. $y$ は任意。

固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は線形独立な固有ベクトルである。

これらを正規化する。$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ のノルムは $\sqrt{2}$ なので、$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ はすでに正規化されている。

固有値 $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルを求める。

$(A + I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + z = 0$ より $z = -x$, $y = 0$.

固有ベクトルは $v = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ -x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

これを正規化する。$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ のノルムは $\sqrt{2}$ なので、$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$.

固有ベクトル $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ を列ベクトルとする行列 $T$ が直交行列となる。

$T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

対角行列 $D$ は、固有値を対角成分に持つ行列である。

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

対角行列 $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

直交行列 $T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$