半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心をCとする。円Cが回転して$\angle COA = \theta$ (ただし $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$)となったとき、点Pの座標 $(x, y)$ を$\theta$を用いて表す。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心をCとする。円Cが回転して$\angle COA = \theta$ (ただし $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$)となったとき、点Pの座標 $(x, y)$ を$\theta$を用いて表す。

2. 解き方の手順

円Cが円Oに内接しながら転がるので、円弧ABの長さと円弧PBの長さが等しい。

円Oの半径は4、円Cの半径は1なので、円弧ABの長さは $4\theta$である。

したがって、円弧PBの長さも $4\theta$である。円Cの中心から点Pを見たときの角度$\angle BCP$は、円弧PBの長さを円Cの半径で割ったものなので、$\angle BCP = \frac{4\theta}{1} = 4\theta$ となる。

点Pの座標 $(x, y)$ は、点Cの座標に、点Cから見た点Pの相対的な位置ベクトルを加えることで求められる。

点Cの座標は $(3\cos\theta, 3\sin\theta)$ である。

点Cから見た点Pの座標は、円Cの半径1と角度を用いて表せる。$\angle PCA = \pi - 4\theta$であるから、点Cから見た点Pの座標は $(\cos(\theta - 4\theta + \pi), \sin(\theta - 4\theta + \pi))$ = $(\cos(\pi - 3\theta), \sin(\pi - 3\theta)) = (-\cos(3\theta), \sin(3\theta))$である。

したがって、点Pの座標$(x, y)$は次のようになる。

$x = 3\cos\theta - \cos(3\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(3\theta)$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cos\theta - \cos(3\theta) \\ 3\sin\theta + \sin(3\theta) \end{pmatrix}$