整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ が $(x-1)^2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

整式 $x^3 + 2x^2 + ax + b$ が $(x-1)^2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ である。$x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $x^2 - 2x + 1$ で割った余りが $0$ になるように、$a, b$ を決定する。実際に割り算を行う。

```

x + 4

x^2-2x+1 | x^3 + 2x^2 + ax + b

x^3 - 2x^2 + x

------------------

4x^2 + (a-1)x + b

4x^2 - 8x + 4

------------------

(a+7)x + (b-4)

```

割り切れるためには、余りが $0$ でなければならないので、

$(a+7)x + (b-4) = 0$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、

$a + 7 = 0$ かつ $b - 4 = 0$

したがって、

$a = -7$ かつ $b = 4$

3. 最終的な答え

$a = -7$

$b = 4$