与えられた3つの代数方程式を解きます。 (1) $x^3 = 1$ (2) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ (3) $x^3 - 7x + 6 = 0$ 問題文の指示に従い、(1)から(7)までは複素数の範囲で、(8)(9)は実数の範囲で解く必要がありますが、今回は(1)(2)(3)のみなので複素数の範囲で解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの代数方程式を解きます。

(1) $x^3 = 1$

(2) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$

(3) $x^3 - 7x + 6 = 0$

問題文の指示に従い、(1)から(7)までは複素数の範囲で、(8)(9)は実数の範囲で解く必要がありますが、今回は(1)(2)(3)のみなので複素数の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = 1$

$x^3 - 1 = 0$ と変形します。

左辺を因数分解すると、

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

したがって、$x - 1 = 0$ または $x^2 + x + 1 = 0$ です。

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$

$x^2 + x + 1 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$

$x^2 = y$ とおくと、$y^2 + 3y - 4 = 0$ となります。

因数分解すると、$(y + 4)(y - 1) = 0$

したがって、$y = -4$ または $y = 1$ です。

$x^2 = -4$ より、$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

$x^2 = 1$ より、$x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$

したがって、$x = 1, -1, 2i, -2i$

(3) $x^3 - 7x + 6 = 0$

$x = 1$ を代入すると、$1 - 7 + 6 = 0$ となり、$x = 1$ は解の一つです。

したがって、$(x - 1)$ は $x^3 - 7x + 6$ の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$x^3 - 7x + 6$ を $(x - 1)$ で割ると、

$x^2 + x - 6$ となります。

したがって、$x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) = 0$

$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ より、$x = -3$ または $x = 2$

したがって、$x = 1, 2, -3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = 1, -1, 2i, -2i$

(3) $x = 1, 2, -3$