3乗すると1になる虚数の1つを$\omega$とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\omega^{12}$ (2) $\omega^8 + \omega^4$

1. 問題の内容

3乗すると1になる虚数の1つを$\omega$とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\omega^{12}$

(2) $\omega^8 + \omega^4$

2. 解き方の手順

(1) $\omega^3 = 1$であるため、$\omega^{12}$は$\omega^3$の累乗で表せる。

$\omega^{12} = (\omega^3)^4 = 1^4 = 1$

(2) $\omega^3 = 1$であるため、$\omega^8$と$\omega^4$を$\omega^3$で割った余りで次数を下げることができる。

$\omega^8 = \omega^{3 \cdot 2 + 2} = (\omega^3)^2 \cdot \omega^2 = 1^2 \cdot \omega^2 = \omega^2$

$\omega^4 = \omega^{3 \cdot 1 + 1} = (\omega^3)^1 \cdot \omega^1 = 1 \cdot \omega = \omega$

したがって、$\omega^8 + \omega^4 = \omega^2 + \omega$となる。

$\omega$は$x^3 = 1$の解であるため、$x^3 - 1 = 0$を満たす。

$(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

$\omega$は虚数であるため、$\omega \neq 1$である。

よって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$を満たす。

したがって、$\omega^2 + \omega = -1$である。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -1