与えられた連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。具体的には、以下の4つの連立一次方程式を解きます。 (1) $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 = -1 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 - 2x_2 = 8 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 \\ -x_1 + 3x_3 = 8 \\ x_2 - 2x_3 = -4 \end{cases}$ (4) $\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 4 \\ -x_1 + 2x_2 - 4x_3 = -2 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。具体的には、以下の4つの連立一次方程式を解きます。

(1) $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 = -1 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 - 2x_2 = 8 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 \\ -x_1 + 3x_3 = 8 \\ x_2 - 2x_3 = -4 \end{cases}$

(4) $\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 4 \\ -x_1 + 2x_2 - 4x_3 = -2 \end{cases}$

2. 解き方の手順

各連立一次方程式について、拡大係数行列を作成し、行基本変形（行の入れ替え、行の定数倍、行の定数倍の加算）を行い、階段行列（または簡約化された階段行列）に変換します。その後、得られた方程式を解きます。

(1)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$。

行を入れ替えて $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$。

2行目から1行目の2倍を引いて $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \end{bmatrix}$。

2行目を5で割って $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$。

1行目に2行目を足して $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$。

よって、$x_1 = 1$, $x_2 = -1$。

(2)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{bmatrix}$。

行を入れ替えて $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$。

2行目から1行目の3倍を引いて $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 8 & -24 \end{bmatrix}$。

2行目を8で割って $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$。

1行目に2行目の2倍を足して $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$。

よって、$x_1 = 2$, $x_2 = -3$。

(3)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{bmatrix}$。

2行目に1行目を足して $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 10 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{bmatrix}$。

2行目を2で割って $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{bmatrix}$。

3行目から2行目を引いて $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & -9 \end{bmatrix}$。

3行目を-3で割って $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$。

2行目から3行目を引いて $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$。

1行目に3行目を足して $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$。

1行目から2行目の2倍を引いて $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$。

よって、$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$。

(4)

拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & -4 & -2 \end{bmatrix}$。

2行目から1行目の2倍を引いて、3行目に1行目を足して$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$。

2行目を-1倍して、$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -5 & -2 \\ 0 & 3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$。

3行目から2行目の3倍を引いて$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 10 & 5 \end{bmatrix}$。

3行目を10で割って$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{bmatrix}$。

2行目に3行目の5倍を足して$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{bmatrix}$。

1行目に3行目を足して、1行目から2行目を引いて$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{bmatrix}$。

よって、$x_1 = 1/2$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = 1/2$。

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = 1$, $x_2 = -1$

(2) $x_1 = 2$, $x_2 = -3$

(3) $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$

(4) $x_1 = 1/2$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = 1/2$