2直線 $x=3$、$y=2$ を漸近線として、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$、$y=2$ を漸近線として、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

漸近線が $x=3$ であることから、$cx+d = 0$ の解が $x=3$ となるため、$3c+d = 0$ が成り立つ。したがって、$d = -3c$ と表せる。

漸近線が $y=2$ であることから、$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{cx+d} = 2$ である。これは $\frac{a}{c} = 2$ を意味するので、$a = 2c$ と表せる。

したがって、関数は $y = \frac{2cx+b}{cx-3c}$ となる。

さらに、$y = \frac{2x + \frac{b}{c}}{x-3}$ と変形できる。ここで、$B = \frac{b}{c}$ と置くと、$y = \frac{2x+B}{x-3}$ となる。

点 $(1,1)$ を通ることから、$x=1$、 $y=1$ を代入すると、

$1 = \frac{2(1)+B}{1-3}$

$1 = \frac{2+B}{-2}$

$-2 = 2+B$

$B = -4$

したがって、$y = \frac{2x-4}{x-3}$ となる。

この形から、$a=2, b=-4, c=1, d=-3$であることがわかる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$