関数 $y = \frac{3x+a}{x+b}$ のグラフが点(2,-1)を通り、漸近線の1つが直線 $x=3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

代数学分数関数漸近線関数のグラフ定数
2025/7/26

1. 問題の内容

関数 y=3x+ax+by = \frac{3x+a}{x+b} のグラフが点(2,-1)を通り、漸近線の1つが直線 x=3x=3 であるとき、定数 a,ba, b の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が x=3x=3 であることから、分母が0になるとき x=3x=3 となるので、
x+b=0x+b=0 より x=bx=-b
したがって、b=3b=-3
次に、点(2,-1)を通ることから、x=2x=2, y=1y=-1 を代入すると、
1=3(2)+a2+b-1 = \frac{3(2)+a}{2+b}
b=3b=-3 を代入すると、
1=6+a23-1 = \frac{6+a}{2-3}
1=6+a1-1 = \frac{6+a}{-1}
1=6+a1 = 6+a
a=16=5a = 1-6 = -5

3. 最終的な答え

a=5a = -5
b=3b = -3

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