放物線 $y = x^2 - mx - 2m + 12$ について、以下の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求める問題です。 (1) この放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わる。 (2) この放物線が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる。 (3) この放物線が $x$ 軸の $-3 < x < 1$ の部分と1点のみで交わる。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - mx - 2m + 12$ について、以下の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求める問題です。

(1) この放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わる。

(2) この放物線が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる。

(3) この放物線が $x$ 軸の $-3 < x < 1$ の部分と1点のみで交わる。

2. 解き方の手順

(1) 放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = (-m)^2 - 4(1)(-2m+12) = m^2 + 8m - 48 > 0$

$(m+12)(m-4) > 0$

よって、$m < -12$ または $m > 4$

(2) 放物線が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は、以下の3つを満たすことです。

(i) 判別式 $D > 0$ (既に(1)で $m < -12$ または $m > 4$ と求まっている)

(ii) 軸 $x = \frac{m}{2} > 0$ より、$m > 0$

(iii) $f(0) = -2m + 12 > 0$ より、$m < 6$

これらを全て満たす $m$ の範囲は、$4 < m < 6$

(3) 放物線が $x$ 軸の $-3 < x < 1$ の部分と1点のみで交わる条件は、以下のいずれかを満たすことです。

(i) $f(-3)f(1) < 0$

(ii) $f(-3) = 0$ かつ $-3 < \frac{m}{2} < 1$

(iii) $f(1) = 0$ かつ $-3 < \frac{m}{2} < 1$

(i) $f(-3) = 9 + 3m - 2m + 12 = m + 21$, $f(1) = 1 - m - 2m + 12 = -3m + 13$

$f(-3)f(1) = (m+21)(-3m+13) < 0$

$(m+21)(3m-13) > 0$

$m < -21$ または $m > \frac{13}{3}$

(ii) $f(-3) = m+21 = 0$ より $m = -21$ 。このとき、軸は $\frac{-21}{2} = -10.5$ となり、$-3 < -10.5 < 1$ を満たさないため不適。

(iii) $f(1) = -3m + 13 = 0$ より $m = \frac{13}{3}$。このとき、軸は $\frac{13}{6}$となり、$-3 < \frac{13}{6} < 1$ を満たさないため不適。

したがって、$m < -21$ または $m > \frac{13}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $m < -12$, $m > 4$

(2) $4 < m < 6$

(3) $m < -21$, $m > \frac{13}{3}$