関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ について、$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求め、不等式 $-\boxed{オ} \le y \le -\frac{\boxed{カ}}{\boxed{キ}}$ を完成させる問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ について、$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求め、不等式 $-\boxed{オ} \le y \le -\frac{\boxed{カ}}{\boxed{キ}}$ を完成させる問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数のグラフの概形を考えます。$y = -\frac{2}{3}x^2$ は上に凸な放物線であり、頂点は原点 $(0,0)$ です。$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ の範囲で $y$ の最大値と最小値を求めます。

* $x=1$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(1)^2 = -\frac{2}{3}$

* $x=3$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(3)^2 = -\frac{2}{3}(9) = -6$

したがって、$x$ の変域が $1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の最大値は $-\frac{2}{3}$ で、最小値は $-6$ です。よって、yの変域は $-6 \le y \le -\frac{2}{3}$ となります。

不等式の形に合わせると、$-6 \le y \le -\frac{2}{3}$ ですから、$\boxed{オ}=6$, $\boxed{カ}=2$, $\boxed{キ}=3$ となります。

3. 最終的な答え

オ：6

カ：2

キ：3

$-6 \le y \le -\frac{2}{3}$