与えられた式 $(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c)$ を展開し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c)$ を展開し、簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $(a-(2b+\frac{1}{2}c))(a+(2b+\frac{1}{2}c))$ と変形します。

これは、$A = 2b+\frac{1}{2}c$ と置くと、$(a-A)(a+A)$ という形になり、和と差の積の公式 $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ が適用できます。

したがって、

$(a-(2b+\frac{1}{2}c))(a+(2b+\frac{1}{2}c)) = a^2 - (2b+\frac{1}{2}c)^2$ となります。

次に、 $(2b+\frac{1}{2}c)^2$ を展開します。

$(2b+\frac{1}{2}c)^2 = (2b)^2 + 2(2b)(\frac{1}{2}c) + (\frac{1}{2}c)^2 = 4b^2 + 2bc + \frac{1}{4}c^2$

したがって、

$a^2 - (2b+\frac{1}{2}c)^2 = a^2 - (4b^2 + 2bc + \frac{1}{4}c^2) = a^2 - 4b^2 - 2bc - \frac{1}{4}c^2$

3. 最終的な答え

$a^2 - 4b^2 - 2bc - \frac{1}{4}c^2$