平面内の任意の幾何ベクトル $\mathbf{v}$ が、与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の線形結合で表せることを示す問題です。写真にメモ書きがあり、 $v_1 = 3y - 10x$ $v_2 = 3x + y$ と書かれています。また、メモ書きには $v_1 - v_2 = -11x$ $x = -\frac{v_1 - v_2}{11}$ と書かれています。

1. 問題の内容

平面内の任意の幾何ベクトル $\mathbf{v}$ が、与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の線形結合で表せることを示す問題です。写真にメモ書きがあり、

$v_1 = 3y - 10x$

$v_2 = 3x + y$

と書かれています。また、メモ書きには

$v_1 - v_2 = -11x$

$x = -\frac{v_1 - v_2}{11}$

と書かれています。

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式から $x$ と $y$ を $v_1$ と $v_2$ で表すことを目指します。

$v_1 = 3y - 10x$ (1)

$v_2 = 3x + y$ (2)

式(2)を3倍すると

$3v_2 = 9x + 3y$ (3)

式(1)から式(3)を引くと

$v_1 - 3v_2 = 3y - 10x - (9x + 3y) = -19x$

よって

$x = \frac{3v_2 - v_1}{19}$

式(1)を3倍すると

$3v_1 = 9y - 30x$ (4)

式(2)を10倍すると

$10v_2 = 30x + 10y$ (5)

式(4)と式(5)を足すと

$3v_1 + 10v_2 = 9y - 30x + 30x + 10y = 19y$

よって

$y = \frac{3v_1 + 10v_2}{19}$

ベクトル $\mathbf{v}$ の成分が $(v_1, v_2)$ であり、ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の成分がそれぞれ (3, 10) と (3, 1) であるとすると、

$\mathbf{v} = \frac{3v_2 - v_1}{19} \mathbf{a} + \frac{3v_1 + 10v_2}{19} \mathbf{b}$

と表せることを示せばよい。しかし、問題文よりベクトル$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$が与えられていないため、一般的に証明する。

平面上の任意のベクトル$\mathbf{a}=(a_1, a_2)$と$\mathbf{b}=(b_1, b_2)$が一次独立であるとする。つまり、$a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$とする。平面上の任意のベクトル$\mathbf{v}=(v_1, v_2)$が、$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$の線形結合で表せると仮定すると、ある実数$s$と$t$が存在して、

$\mathbf{v} = s\mathbf{a} + t\mathbf{b}$

が成り立つ。これは成分で書くと

$v_1 = s a_1 + t b_1$

$v_2 = s a_2 + t b_2$

となる。この連立方程式を$s$と$t$について解けば、

$s = \frac{v_1 b_2 - v_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$

$t = \frac{v_2 a_1 - v_1 a_2}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$

となり、$s$と$t$が一意に定まる。したがって、平面上の任意のベクトル$\mathbf{v}$は、一次独立なベクトル$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$の線形結合で表せる。

3. 最終的な答え

平面上の任意のベクトルは、一次独立な2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の線形結合で表せる。