袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。この袋から1個の玉を取り出して色を確認した後、袋に戻す。この操作を5回繰り返すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 赤玉が4回以上出る確率。 (2) 少なくとも1回赤玉が出る確率。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。この袋から1個の玉を取り出して色を確認した後、袋に戻す。この操作を5回繰り返すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 赤玉が4回以上出る確率。

(2) 少なくとも1回赤玉が出る確率。

2. 解き方の手順

(1) 赤玉が4回以上出る確率

5回の試行で赤玉が出る回数は4回または5回である。

赤玉が1回出る確率は $3/5$、白玉が出る確率は $2/5$ である。

4回赤玉が出る確率は、二項定理より

$P(4) = {}_5 C_4 (\frac{3}{5})^4 (\frac{2}{5})^1 = 5 \cdot \frac{81}{625} \cdot \frac{2}{5} = \frac{810}{3125} = \frac{162}{625}$

5回赤玉が出る確率は、

$P(5) = {}_5 C_5 (\frac{3}{5})^5 (\frac{2}{5})^0 = 1 \cdot \frac{243}{3125} \cdot 1 = \frac{243}{3125}$

したがって、赤玉が4回以上出る確率は

$P(4) + P(5) = \frac{162}{625} + \frac{243}{3125} = \frac{810}{3125} + \frac{243}{3125} = \frac{1053}{3125}$

(2) 少なくとも1回赤玉が出る確率

少なくとも1回赤玉が出る事象は、1回も赤玉が出ない事象の余事象である。

つまり、5回とも白玉が出る確率を1から引けば良い。

5回とも白玉が出る確率は、

$P(0) = (\frac{2}{5})^5 = \frac{32}{3125}$

したがって、少なくとも1回赤玉が出る確率は、

$1 - P(0) = 1 - \frac{32}{3125} = \frac{3125 - 32}{3125} = \frac{3093}{3125}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1053}{3125}$

(2) $\frac{3093}{3125}$