関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、$y = f(x)$ のグラフが $x = 1$ において接線 $y = 1$ をもち、$x = -1$ において接線 $y = 8x + 5$ をもつ。このとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、$y = f(x)$ のグラフが $x = 1$ において接線 $y = 1$ をもち、$x = -1$ において接線 $y = 8x + 5$ をもつ。このとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(1) = 1$ かつ $f(-1) = 8(-1) + 5 = -3$ より、

$f(1) = a + b + c + d = 1$

$f(-1) = -a + b - c + d = -3$

(2) $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ であるから、$f'(1)$ は $y=1$ の傾き 0 に等しく、$f'(-1)$ は $y=8x+5$ の傾き 8 に等しい。

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$f'(-1) = 3a - 2b + c = 8$

(3) 上記の4つの式を連立させて、$a$, $b$, $c$, $d$ を求める。

まず、$f(1) + f(-1)$ より、

$2b + 2d = -2$, よって $b + d = -1$, $d = -b - 1$

次に、$f(1) - f(-1)$ より、

$2a + 2c = 4$, よって $a + c = 2$, $c = 2 - a$

また、$f'(1) + f'(-1)$ より、

$6a + 2c = 8$, よって $3a + c = 4$, $c = 4 - 3a$

$f'(1) - f'(-1)$ より、

$4b = -8$, よって $b = -2$

(4) $d = -b - 1 = -(-2) - 1 = 1$

$c = 2 - a$ かつ $c = 4 - 3a$ より、

$2 - a = 4 - 3a$

$2a = 2$

$a = 1$

$c = 2 - a = 2 - 1 = 1$

したがって、$a = 1$, $b = -2$, $c = 1$, $d = 1$ である。

よって、$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$