与えられた3重積分 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1+x} xyz \, dz \, dy \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた3重積分

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1+x} xyz \, dz \, dy \, dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$z$ について積分します。

$\int_{0}^{1+x} xyz \, dz = xy \int_{0}^{1+x} z \, dz = xy \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{1+x} = xy \frac{(1+x)^2}{2}$

次に、$y$ について積分します。

$\int_{0}^{1-x} xy \frac{(1+x)^2}{2} \, dy = x \frac{(1+x)^2}{2} \int_{0}^{1-x} y \, dy = x \frac{(1+x)^2}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1-x} = x \frac{(1+x)^2}{2} \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{x}{4} (1+x)^2 (1-x)^2 = \frac{x}{4} (1-x^2)^2 = \frac{x}{4} (1 - 2x^2 + x^4)$

最後に、$x$ について積分します。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{4} (1 - 2x^2 + x^4) \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} (x - 2x^3 + x^5) \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right] = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{24}$