例題3で定義された関数 $f(x,y)$ について、以下の3つの事柄を示す問題です。 (1) $f(x,y)$は原点(0,0)で連続である。 (2) $f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$は原点(0,0)で連続である（これにより、$f(x,y)$は$C^1$級であることがわかる）。 (3) $f_{xy}(x,0)$、$f_{yx}(0,y)$を求めることにより、$f_{xy}(x,y)$、$f_{yx}(x,y)$は原点(0,0)で不連続であることを示す。 この問題を解くためには、まず例題3で関数$f(x,y)$がどのように定義されているかを知る必要があります。例題3の関数定義が提供されていないため、一般的な場合を想定して解答することはできません。 しかし、問題の構造と連続性・偏微分の定義に基づいて、解き方の手順を示すことは可能です。

1. 問題の内容

例題3で定義された関数 $f(x,y)$ について、以下の3つの事柄を示す問題です。

(1) $f(x,y)$は原点(0,0)で連続である。

(2) $f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$は原点(0,0)で連続である（これにより、$f(x,y)$は$C^1$級であることがわかる）。

(3) $f_{xy}(x,0)$、$f_{yx}(0,y)$を求めることにより、$f_{xy}(x,y)$、$f_{yx}(x,y)$は原点(0,0)で不連続であることを示す。

この問題を解くためには、まず例題3で関数$f(x,y)$がどのように定義されているかを知る必要があります。例題3の関数定義が提供されていないため、一般的な場合を想定して解答することはできません。

しかし、問題の構造と連続性・偏微分の定義に基づいて、解き方の手順を示すことは可能です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y)$が原点(0,0)で連続であることを示すためには、以下の手順を踏みます。

1. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$が存在することを示します。

2. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$が成立することを示します。

極限が存在することを示す際には、極座標変換($x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$)を用いると便利です。

$f(0,0)$の値は、関数の定義から直接求める必要があります。

(2) $f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$が原点(0,0)で連続であることを示すためには、以下の手順を踏みます。

1. $f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$を求めます。偏微分の定義に従い、

$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

$f_y(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$

を計算します。原点(0,0)における偏微分は、

$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}$

として計算します。

2. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_x(x,y)$、$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f_y(x,y)$が存在することを示します。

3. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_x(x,y) = f_x(0,0)$、$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f_y(x,y) = f_y(0,0)$が成立することを示します。

これにより、$f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$が原点(0,0)で連続であることが示されます。

$f(x,y)$が$C^1$級であることは、$f_x$と$f_y$が存在して連続であることから結論付けられます。

(3) $f_{xy}(x,0)$、$f_{yx}(0,y)$を求め、$f_{xy}(x,y)$、$f_{yx}(x,y)$が原点(0,0)で不連続であることを示すためには、以下の手順を踏みます。

1. $f_{xy}(x,0) = \frac{\partial}{\partial y} f_x(x,0)$、$f_{yx}(0,y) = \frac{\partial}{\partial x} f_y(0,y)$を計算します。

2. $f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} f_x(x,y)$、$f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} f_y(x,y)$を計算します。

3. $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_{xy}(x,y)$と$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_{yx}(x,y)$が存在しないか、あるいは存在するとしても$f_{xy}(0,0)$、$f_{yx}(0,0)$と一致しないことを示します。特に、異なる経路から原点に近づく際の極限値が異なることを示すことが有効です。

3. 最終的な答え

問題文で関数$f(x,y)$の具体的な定義が与えられていないため、具体的な答えを導出することはできません。上記の解き方の手順に従い、与えられた関数$f(x,y)$に対して計算を行うことで、最終的な答えを得ることができます。