画像の問題は、以下の３つのカテゴリに分かれています。 * 3次近似式を求める。 * (13) $x \sin 3x$ * (14) $-\log(1-x)$ * マクローリン展開の0でない最初の3項を求める。 * (15) $(x+1) \log(x+1)$ * (16) $\sin x^3$ * マクローリン展開の$x^n$の係数を求める。 * (17) $(x^2+2)e^x$, $n=5$ * (18) $\frac{x}{(1-x)^2}$, $n=100$

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

画像の問題は、以下の３つのカテゴリに分かれています。

* 3次近似式を求める。

* (13) $x \sin 3x$

* (14) $-\log(1-x)$

* マクローリン展開の0でない最初の3項を求める。

* (15) $(x+1) \log(x+1)$

* (16) $\sin x^3$

* マクローリン展開の$x^n$の係数を求める。

* (17) $(x^2+2)e^x$, $n=5$

* (18) $\frac{x}{(1-x)^2}$, $n=100$

2. 解き方の手順

(13) $x \sin 3x$の3次近似式

$\sin x$のマクローリン展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

である。したがって、$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \dots = 3x - \frac{9x^3}{2} + \dots$

よって、$x \sin 3x = x(3x - \frac{9x^3}{2} + \dots) = 3x^2 - \frac{9x^4}{2} + \dots$

3次近似式を求めたいので、3次以下の項のみを残すと、

$x \sin 3x \approx 3x^2$

(14) $-\log(1-x)$の3次近似式

$\log(1+x)$のマクローリン展開は、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

である。したがって、$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$

よって、$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$

(15) $(x+1) \log(x+1)$ のマクローリン展開の0でない最初の3項

$\log(1+x)$のマクローリン展開は、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

である。

$(x+1)\log(1+x) = (x+1)(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots)$

$= x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \dots + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$= x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots$

最初の3項は、$x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$

(16) $\sin x^3$のマクローリン展開の0でない最初の3項

$\sin x$のマクローリン展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

である。したがって、

$\sin x^3 = x^3 - \frac{(x^3)^3}{3!} + \frac{(x^3)^5}{5!} - \dots = x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120} - \dots$

最初の3項は、$x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120}$。ただし、問題文の指示より、最初のゼロでない３項を求めるため、$x^3$, $-\frac{x^9}{6}$, $\frac{x^{15}}{120}$が答えとなる。

(17) $(x^2+2)e^x$, $n=5$のとき、$x^5$の係数

$e^x$のマクローリン展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

である。

$(x^2+2)e^x = x^2 e^x + 2e^x = x^2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} + 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

$= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{k+2}}{k!} + \sum_{k=0}^\infty \frac{2x^k}{k!}$

$x^5$の項は、第一項において、$k+2=5$、つまり$k=3$のとき。第二項において、$k=5$のとき。

したがって、$x^5$の係数は、$\frac{1}{3!} + \frac{2}{5!} = \frac{1}{6} + \frac{2}{120} = \frac{1}{6} + \frac{1}{60} = \frac{10+1}{60} = \frac{11}{60}$

(18) $\frac{x}{(1-x)^2}$, $n=100$のとき、$x^{100}$の係数

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$であるから、

$\frac{1}{(1-x)^2} = (\frac{1}{1-x})' = \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n$

$\frac{x}{(1-x)^2} = x\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n = \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{n+1}$

$x^{100}$の項は、$n+1 = 100$, つまり、$n=99$のときである。

したがって、$x^{100}$の係数は、$99+1 = 100$

3. 最終的な答え

(13) $3x^2$

(14) $x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

(15) $x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$

(16) $x^3, -\frac{x^9}{6}, \frac{x^{15}}{120}$

(17) $\frac{11}{60}$

(18) $100$