与えられた式 $(x+1)(x-1)-(x-2)^2$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x-1)-(x-2)^2$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x-1)$ を展開します。これは和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

$$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$$

次に、$(x-2)^2$ を展開します。これは二項の平方の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用できます。

$$(x-2)^2 = x^2 - 2(x)(2) + 2^2 = x^2 - 4x + 4$$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$$(x+1)(x-1)-(x-2)^2 = (x^2 - 1) - (x^2 - 4x + 4)$$

括弧を外し、符号に注意して整理します。

$$x^2 - 1 - x^2 + 4x - 4$$

同類項をまとめます。

$$(x^2 - x^2) + 4x + (-1 - 4) = 0 + 4x - 5 = 4x - 5$$

3. 最終的な答え

$4x-5$